반구 내부 원뿔대 누적 시뮬레이터
원뿔대 누적 겉넓이
반구(반지름 r = 5)를 N층의 원뿔대로 쪼갭니다. (단, 가장 꼭대기 층은 윗면이 없는 원뿔이 됩니다!)
각 원뿔대의 옆넓이 공식은 π × (r₁ + r₂) × s (s는 모선 길이)입니다.
층수 N을 늘릴수록 오차가 사라지며 반구 겉넓이 2πr²에 놀랍도록 일치하게 됩니다!
단일 원뿔대 옆넓이 구조 i번째 층
원뿔대를 펼치면 부채꼴에서 작은 부채꼴을 뺀 모양(사다리꼴과 유사한 띠)이 됩니다.
• 윗면 반지름: -
• 아랫면 반지름: -
• 모선 길이(s): -
• 이 층의 옆넓이: -
아르키메데스의 반구 & 외접 원기둥 투영
아르키메데스가 묘비에 새긴 대발견!
구를 딱 감싸는 원기둥을 생각해 봅시다. 구를 수평으로 아주 얇게 자른 단면 띠를 옆으로 그대로 평행광선처럼 쏘아 원기둥 옆면에 비추면 어떻게 될까요?
따라서 반구 전체의 겉넓이는?
반구를 이루는 모든 띠를 옆으로 쏘면, 원기둥 옆면 전체를 정확히 덮게 됩니다.
• 원기둥 옆넓이 = (밑면 둘레) × (높이) = 2πr × r = 2πr²
• 따라서 반구 겉넓이 = 2πr²
• 온전한 구 전체 겉넓이 = 4πr²
구 겉넓이 전개와 평면 원 4개 채우기
교과서 속 직관 실험: 귤껍질 까기
귤을 반으로 잘라 반지름(r)이 같은 원 4개를 종이에 그립니다. 그리고 귤의 겉껍질을 잘게 뜯어 평면 원 안에 빈틈없이 채워 넣으면 놀랍게도 딱 4개의 원이 가득 차게 됩니다!
구 전체의 겉넓이 = 4 × (πr²) = 4πr²
반구의 겉넓이 = 2 × (πr²) = 2πr²
구 표면 뿔 분할과 부피 공식 유도
겉넓이를 알면 부피가 보인다!
구의 표면을 수많은 아주 작은 다각형 조각들로 쪼갭니다. 각 표면 조각을 밑면으로 하고, 구의 중심을 꼭짓점으로 하는 수많은 뿔을 상상해 보세요.
카발리에리의 원리와 단면적 비교
단면의 넓이가 같으면 부피도 같다!
모든 높이 \(h\)에서 두 입체도형의 단면 넓이가 같다면, 전체 부피도 같다는 것이 카발리에리의 원리입니다.
💡 참고! 피타고라스 정리 ▼
직각삼각형에서 직각을 낀 두 변이 \(a\), \(b\)이고 빗변이 \(c\)일 때,
\(a^2 + b^2 = c^2\) 이 성립합니다.